إذن، مجموع جميع الزوايا $z$ التي تحقق $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ هو $\boxed{540^\circ}$.
["الإذن: إجمالي جميع الزوايا $z$ في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$ التي تحقق المعادلة $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ هو $\boxed{540^\circ}$", "هل تساءل عن جميع الزوايا $z$ التي تحقق المعادلة المثلثية $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$؟ إذا كنت تبحث عن الحلول في الفترة من $0^\circ$ إلى $360^\circ$، فإن المفاجأة هي أن مجموع جميع هذه الزوايا هو $540^\circ$. في هذا المقال، سنستعرض بالتفصيل طريقة حل المعادلة، ونستنتج الحلول بدقة، ونوضح سبب أن يكون مجموعها هذا المقدار المميز.", "### خطوة 1: حل المعادلة $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$", "نعلم أن$\sin(\ heta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ عند الزوايا التالية ضمن الدورة الواحدة ($0^\circ \leq \ heta < 360^\circ$):\n[\n\ heta = 60^\circ \quad \ ext{و} \quad \ heta = 120^\circ\n]\nلكن هنا، المتغير هو $2z$، وليس $\ heta$. لذا نعيد كتابة المعادلة:\n[\n2z = 60^\circ + 360^\circ k \quad \ ext{أو} \quad 2z = 120^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z}\n]", "### خطوة 2: إيجاد جميع الحلول لـ $z$ في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$", "نقسم المعادلتين ونحسب قيم $z$:", "1. من $2z = 60^\circ + 360^\circ k$:\n[\nz = 30^\circ + 180^\circ k\n]\nعندما $k = 0$ نحصل على $z = 30^\circ$\nعندما $k = 1$ نحصل على $z = 210^\circ$\nعندما $k = 2$ نتجاوز $360^\circ$، لذا نُهمل.", "2. من $2z = 120^\circ + 360^\circ k$:\n[\nz = 60^\circ + 180^\circ k\n]\nعندما $k = 0$ نحصل على $z = 60^\circ$\nعندما $k = 1$ نحصل على $z = 240^\circ$\nعندما $k = 2$ نتجاوز، لذا نُهمل.", "إذًا، الزوايا التي تحقق المعادلة في الفترة المطلوبة هي:\n[\nz = 30^\circ, \quad 60^\circ, \quad 210^\circ, \quad 240^\circ\n]", "### خطوة 3: حساب مجموع الزوايا", "الآن نجمع هذه الزوايا:\n[\n30^\circ + 60^\circ + 210^\circ + 240^\circ = 540^\circ\n]", "### لماذا المجموع يساوي $540^\circ$؟", "لأن الحل عبارة عن زوجين من الزوايا مرتبطين بزاوية أساسية ($60^\circ$ و $120^\circ$)، وعند ضربها في 2، تصبح الزوايا $2z$ موزعة في ($60^\circ$ إلى $720^\circ$)، لكن فقط الزوايا الفعلية لـ $z$ ضمن $[0^\circ, 360^\circ]$ تُحسب. المجموع الكلي لجميع الحلول الم valid هو نتيجة التحليل الهندسي والجبر لإطار الدائرة ودورة الدالة الجيبية، مما يُثبت أن:\n[\n\sum z = 540^\circ\n]", "### خاتمة", "إذا كنت تتساءل عن إجمالي جميع الزوايا التي تحقق $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$، فإن الجواب الدقيق والموثق هو $\boxed{540^\circ}$. هذه النتيجة ليست عشوائية، بل جزء من الخواص الدورية والهندسية للمعادلات المثلثية.", "لذا، في كل مرة تواجه فيها مثل هذه المعادلة، تذكر عملية الحل خطوة بخطوة، واستنتاج المجموع النهائي يساعد على فهم عميق لسلوك الدوال المثلثية.", "---\nكلمات مفتاحية (Short-tail SEO):\n$\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$، حلول المعادلة المثلثية، زوايا تحقق المعادلة، مجموع الحلول، $\sin(2z)$ في $[0^\circ, 360^\circ]$، مجموع زوايا حلول مثلثية، كيفية حل $\sin(2z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$", "---\nملاحظة: استخدام الزوايا بالدرجات، التحليل الجبري الدقيق، واستنتاج المجموع النهائي يُعزز من قيمة المقال في محركات البحث وتقديم محتوى علمي دقيق."]
