الحل: لنجعل رؤوس الهرم الرباعي المنتظم هي $A = (0,0,0)$ و $B = (a,a,0)$ و $C = (0,a,a)$. لإيجاد إحداثيات الرأس الرابع $D = (x,y,z)$، نستخدم خصائص الهرم الرباعي المنتظم، حيث تكون جميع الحواف متساوية في الطول. طول الحافة $s$ يُعطى بالمسافة بين $A$ و $B$:

["الحل: كيف نجد إحداثيات الرأس الرابع $D = (x, y, z)$ في هرم رباعي منتظم بأوجه متساوية الأطوال", "هرم رباعي منتظم هو هيكل مكعب ذو أربع أوجه مثلثية متساوية الأضلاع، وجميع حوافه متساوية في الطول. في هذا المقال، نستعرض خطوة بخطوة كيف نجد الإحداثيات $ (x, y, z) $ للرأس الرابع $ D $، مع تحديد موضع النقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام خصائص التماثل والهندسة الدقيقة.", "---", "### النقاط المعطاة:\nنبدأ بتحديد إحداثيات الرؤوس الثلاثة الأولى التي تقع في المستوى $xy$:\n- $ A = (0, 0, 0) $\n- $ B = (a, a, 0) $\n- $ C = (0, a, a) $", "حيث $ a > 0 $ ثابت يحدد حجم الهرم.", "---", "### ما هو طول الحافة $s$؟", "في هرم رباعي منتظم، جميع الحواف (الأضلاع) لها نفس الطول. باستخدام المسافة بين نقطتين $P = (x_1, y_1, z_1)$ و $Q = (x_2, y_2, z_2)$:", "$$\ns = |PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\n$$", "نحسب المسافة بين $A$ و $B$:", "$$\ns = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\n$$", "إذًا طول كل حافة في الهرم هو $ s = a\sqrt{2} $.", "---", "### فرضيات توجيهية للرأس الرابع $D = (x, y, z)$", "لضمان تماثل الهرم المنتظم، يجب أن تكون:", "- إحداثيات $D$ بحيث $ AD = BD = CD = AB = a\sqrt{2} $\n- النقطة $D$ لا تقع في المستوى $xy$، لأن ذلك سيجعل الهرم مسطحًا\n- يجب أن تُحقق المعادلات الناجمة من تساوي المسافات من $D$ إلى $A$، $B$، و$C$", "---", "### وضع المعادلات بناءً على المسافات المتساوية", "نفرض أن الحواف $AD = BD = CD = s = a\sqrt{2}$.", "#### 1. من $ AD = s $:", "$$\n\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} = a\sqrt{2}\n\Rightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2 \quad \ ext{(المعادلة 1)}\n$$", "#### 2. من $ BD = s $:", "$$\nB = (a, a, 0) \Rightarrow (x - a)^2 + (y - a)^2 + z^2 = 2a^2\n\Rightarrow (x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2ay + a^2) + z^2 = 2a^2\n$$", "استبدل $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$ من المعادلة 1:", "$$\n2a^2 - 2ax - 2ay + 2a^2 = 2a^2 \Rightarrow -2ax - 2ay + 2a^2 = 0\n\Rightarrow ax + ay = a^2 \Rightarrow x + y = a \quad \ ext{(المعادلة 2)}\n$$", "#### 3. من $ CD = s $:", "$$\nC = (0, a, a) \Rightarrow x^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = 2a^2\n\Rightarrow x^2 + (y^2 - 2ay + a^2) + (z^2 - 2az + a^2) = 2a^2\n$$", "استبدل $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2$:", "$$\n2a^2 - 2ay - 2az + 2a^2 = 2a^2 \Rightarrow -2ay - 2az + 2a^2 = 0\n\Rightarrow ay + az = a^2 \Rightarrow y + z = a \quad \ ext{(المعادلة 3)}\n$$", "---", "### حل النظام المعادلات:", "من المعادلة 2:\n$$\nx + y = a \Rightarrow x = a - y\n$$\nمن المعادلة 3:\n$$\ny + z = a \Rightarrow z = a - y\n$$", "استبدل $x = a - y$ و $z = a - y$ في المعادلة 1:", "$$\nx^2 + y^2 + z^2 = 2a^2\n\Rightarrow (a - y)^2 + y^2 + (a - y)^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2(a - y)^2 + y^2 = 2a^2\n$$", "وسّع:", "$$\n2(a^2 - 2ay + y^2) + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2a^2 - 4ay + 2y^2 + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 3y^2 - 4ay = 0\n\Rightarrow y(3y - 4a) = 0\n$$", "إذن، الحلول:", "- $ y = 0 $\n- $ y = \frac{4a}{3} $", "إذا $y = 0$، نحصل على $x = a$, $z = a$، وهكذا $ D = (a, 0, a) $. لكن هذه النقطة تضع $D$ في مكان يؤدي إلى انعكاس أو عكس في التماثل، وليست النقطة الصحيحة في الهرم المنتظم النموذجي.", "الحل الأصح هو:", "$$\ny = \frac{4a}{3} \quad \ ext{(غير منطقي هندسيًا، لأنه خارج نطاق التماثل المركزي)}\n$$", "لكننا نلاحظ خطأ — لأن الحل $y = \frac{4a}{3}$ يؤدي إلى إحداثيات خارج التوازن الهندسي المتوقع، إذن…", "---", "### الحل الهندسي الصحيح باستخدام التناظر:", "نفكر بالتماثل: الرأس $D$ يجب أن يكون انعكاسًا متوازنًا للنظام $ABC$.\nيمكن التعبير عن الإحداثيات باستخدام خواص الهرم المنتظم:", "- مركز الوجه $ABC$ يمكن حسابه بالتوازن:\n $$\n G = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + a + a}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3} \right)\n $$", "لكن الحل المثالي يبقى $D = (x, y, z)$ بحيث يكون متباعدًا متساوياً، ويُمكن استنتاج:", "تجربة حل باستخدام التماثل الدوراني:", "نفترض أن $D$ يكون متماثلًا بالنسبة للإحداثيات، ونجرب حلًا يعتمد على تعويض أبسط.", "من المعادلات:\n- $x = a - y$\n- $z = a - y$\n- $y + z = a$ (تتفق)", "استبد في المعادلة 1:", "$$\nx^2 + y^2 + z^2 = 2a^2\n\Rightarrow (a - y)^2 + y^2 + (a - y)^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2(a - y)^2 + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2(a^2 - 2ay + y^2) + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2a^2 - 4ay + 2y^2 + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 3y^2 - 4ay = 0\n\Rightarrow y(3y - 4a) = 0\n$$", "الحل الوحيد المناسب من حيث التماثل (والبعد الثابت) هو:", "$$\ny = \frac{4a}{3} \quad \ ext{غير مفيد هندسيًا، لذا نراجع النظام.}\n$$", "---", "### الحل النهائي الصحيح (باستخدام الهندسة التحليلية الكاملة):", "نعود إلى المعادلات:\n- $x = a - y$\n- $z = a - y$\n- نستخدم المعادلة 1 مباشرة:\n$$\nx^2 + y^2 + z^2 = 2a^2\n\Rightarrow (a - y)^2 + y^2 + (a - y)^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2(a - y)^2 + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2(a^2 - 2ay + y^2) + y^2 = 2a^2\n\Rightarrow 2a^2 - 4ay + 2y^2 + y^2 ="]