初項から \( n \) 項までの和が \( S_n = 3n^2 + 5n \) で与えられる数列の第 \( n \) 項を求めます。

["数列の第 ( n ) 項を求める公式：和の式 ( S_n = 3n^2 + 5n ) が与えられたとき", "数列の初項から ( n ) 項までの和 ( S_n = 3n^2 + 5n ) が与えられたとき、第 ( n ) 項 ( a_n ) を求めることは多くの数学の問題でよく登場します。本記事では、和の式から数列の一般項をどのように導くのか、丁寧に解説します。", "---", "### 1. 初項から ( n ) 項までの和の定義", "数列の第1項から ( n ) 項までの和 ( S_n ) は、\n[\nS_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\n]\nで定義されます。\n第 ( n ) 項 ( a_n ) は、この和の差として求められます：\n[\na_n = S_n - S_{n-1}\n]", "---", "### 2. 与えられた和の式を代入", "ここで、( S_n = 3n^2 + 5n ) を用います。まず、( S_{n-1} ) を求めます。\n( n ) を ( n-1 ) に置き換えることで、\n[\nS_{n-1} = 3(n-1)^2 + 5(n-1)\n]", "これを展開します：\n[\nS_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 = 3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n^2 - n - 2\n]", "---", "### 3. 第 ( n ) 項の公式を導出", "今、( a_n = S_n - S_{n-1} ) に代入します：\n[\na_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2) = 3n^2 + 5n - 3n^2 + n + 2 = 6n + 2\n]", "---", "### 4. 結果の確認と補足", "よって、数列の第 ( n ) 項は、\n[\na_n = 6n + 2\n]\nと表されます。\nこの式を確認するため、最初の数項を計算してみましょう：", "- ( n = 1 ) のとき：( a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8 )，公式より ( 6(1) + 2 = 8 ) ✔\n- ( n = 2 ) のとき：( S_2 = 3(4) + 5(2) = 12 + 10 = 22 )，( a_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14 )，公式より ( 6(2)+2 = 14 ) ✔", "正しさが確認できました。", "---", "### 5. まとめ", "初項から ( n ) 項までの和が ( S_n = 3n^2 + 5n ) である数列の第 ( n ) 項は、\n[\n\boxed{a_n = 6n + 2}\n]\nとなります。\nこのように、和の式を差分で計算することで一般項を導く方法は、数列の問題解決において基本かつ強力なテクニックです。似た問題には、( S_n ) が2次式や höher次の式で与えられる場合があり、その When も応用力を鍛える良い練習になります。", "---", "キーワード: 数列の一般項, 初項からの和, ( S_n = 3n^2 + 5n ), 差分による第 (n) 項, 数学教育, 教 widely used formula derivation.", "---", "さらに詳しく知りたい方へ\nこの公式は「2次数列」と呼ばれ、一般に ( S_n ) が ( n^2 ) や ( n^3 ) の形で与えられる場合に特に有効です。このような問題には、差分数列の考え方や、整数初期値の数列の公式を学ぶことが推奨されます。線形再帰・種差数列の概念にもつながります。"]